¿Qué es un juego para un matemático?

Teoría de juegos, parte 1 de 9

Durante la Segunda Guerra Mundial, en un taxi londinense, el matemático John von Neumann le dijo a su acompañante, Jacob Bronowski, algo extraño: el ajedrez no es un juego. Según él, el ajedrez es una forma de cálculo bien definida: en cualquier posición existe, en teoría, una jugada correcta, aunque nadie sea capaz de encontrarla. Los juegos de verdad, como la vida real, están hechos de faroles, pequeñas tácticas de engaño y una pregunta constante: «¿qué cree el otro que voy a hacer?». Así recordó Bronowski aquella conversación en El ascenso del hombre (1973): es una evocación, no una transcripción.

A quien ama el ajedrez puede sonarle casi provocador. Pero la teoría de juegos empieza justamente con distinciones así. Von Neumann demostró su primer teorema clave en 1928 y, junto al economista Oskar Morgenstern, la convirtió en una disciplina con Teoría de juegos y comportamiento económico (1944). En esta serie iremos del tablero a la negociación y la confianza. Empezamos por una pregunta sencilla: ¿a qué llama «juego» un matemático?

Los tres ingredientes de cualquier juego

Para un matemático, un juego es cualquier situación en la que el resultado depende de las decisiones de varios participantes, y cada uno de ellos lo sabe. Entran en esta definición el ajedrez, una subasta, el regateo por el precio de una vivienda e incluso la decisión de ceder el paso a un coche en un cruce.

Para describir un juego hacen falta tres cosas:

• Jugadores: quienes toman decisiones. Una persona, una empresa, un país o un programa.
• Estrategias: todas las opciones de conducta que tiene cada jugador.
• Pagos: lo que obtiene cada uno con cada combinación de decisiones. Puntos, dinero, victoria o derrota.

El ejemplo más sencillo es piedra, papel o tijera. Dos jugadores, tres opciones cada uno, y todo el juego cabe en una tabla. Cada casilla muestra el pago del jugador A: 1 es victoria, −1 derrota y 0 empate.

El pago del jugador B es siempre el mismo número con el signo contrario. A estos juegos se les llama juegos de suma cero: lo que gana uno lo pierde el otro. El ajedrez, las damas y el go también lo son. La mayoría de las situaciones de la vida, no, y de ellas hablarán las siguientes entregas de la serie.

Una estrategia no es una jugada

En el habla cotidiana, una «estrategia» es una idea general: «jugaré a la defensiva». En teoría de juegos es un manual de instrucciones completo: qué hacer en cada situación que pueda surgir, incluso en las que uno cree que nunca llegarán.

Veamos un juego que se puede jugar con cualquiera ahora mismo (ejemplo didáctico). Hay 10 cerillas sobre la mesa. Los jugadores, por turnos, retiran una o dos. Quien se lleva la última, gana. Los matemáticos lo llaman juego de sustracción, un pariente cercano del clásico Nim.

Intentemos resolverlo desde el final:

1. Si tienes delante una o dos cerillas, te las llevas todas y ganas.
2. Si tienes tres, has perdido: cojas las que cojas, tu rival se lleva el resto.
3. Si tienes cuatro o cinco, le dejas tres a tu rival y ganas.
4. Si tienes seis, vuelves a estar atrapado: cualquier jugada le deja cuatro o cinco.

El patrón ya se ve: las posiciones perdedoras son los múltiplos de 3. Así que, con diez cerillas, el primer jugador coge una y deja nueve. A partir de ahí, siempre completa la jugada del rival hasta tres: si el otro coge una, él coge dos; si coge dos, él coge una. La victoria está garantizada, haga lo que haga el segundo jugador.

Esto es una estrategia en sentido matemático: una regla que da respuesta a cualquier posición. Y el método que hemos usado, razonar del final hacia el principio, se llama inducción hacia atrás.

Esa misma idea está detrás de lo que dijo von Neumann sobre el ajedrez. El ajedrez tiene muchísimas más posiciones, pero el principio es el mismo: en algún lugar existe una respuesta correcta para cada una. Qué se deduce de ello, y qué no, será el tema del próximo artículo.

Cinco preguntas para clasificar cualquier juego

El ajedrez y el póquer son «juegos», pero matemáticamente viven en mundos distintos. Para ver dónde pasa la frontera, basta con hacerle cinco preguntas a cualquier juego:

1. ¿Cuántos jugadores hay? Con tres o más aparecen las alianzas y el análisis se complica mucho.
2. ¿Los intereses son opuestos? Suma cero, o bien se puede ganar o perder juntos.
3. ¿Se ve todo? En un juego de información perfecta, quien va a mover conoce todo lo que ha ocurrido hasta ese momento. Las cartas ocultas en la mano del rival rompen esa condición.
4. ¿Hay azar? Dados, una baraja mezclada.
5. ¿Por turnos o a la vez? Elegir simultáneamente, como en piedra, papel o tijera, equivale matemáticamente a no ver la jugada del rival.

Así se clasifican algunos juegos conocidos:

Fíjate en el backgammon. Hay azar, pero no información oculta: los dados se lanzan a la vista de todos. Por tanto, «azar» y «desconocimiento» no son lo mismo. En el backgammon no conoces el futuro. En el póquer no conoces el presente: lo que ya tiene tu rival en la mano. Esa diferencia lo cambia todo.

Una precisión para curiosos: en teoría de juegos se distingue la información perfecta (conocer todas las jugadas hechas) de la información completa (conocer las reglas y los objetivos de todos los jugadores). El póquer tiene la segunda (todos saben que los demás quieren ganar fichas), pero no la primera.

Por qué en el póquer el farol es matemática y no carácter

En el ajedrez no hay nada oculto: todo lo que sabe tu rival lo sabes tú también. Por eso la mejor jugada no depende de si el rival la espera. En teoría, podrías anunciar tu plan en voz alta y la valoración de la posición no cambiaría.

En el póquer eso no funciona. Si apuestas siempre con cartas fuertes y nunca con cartas débiles, tu apuesta se convierte en una carta boca arriba. Un rival atento se retirará cada vez que apuestes, y tus buenas manos no te darán nada.

Von Neumann y Morgenstern ya habían encontrado el farol en un póquer simplificado en su libro de 1944. En 1950, el matemático Harold Kuhn propuso un modelo aún más pequeño, que se convirtió en el ejemplo de manual. Su «póquer simplificado» usa solo tres cartas: jota, reina y rey. Cada jugador recibe una, la tercera queda boca abajo y solo se permite una apuesta. Incluso en este juego de juguete, el cálculo da un resultado que sorprende a los principiantes: la estrategia óptima tiene que incluir faroles.

Por ejemplo, cuando el primer jugador pasa, el segundo, si tiene la carta más baja (la jota), debe apostar exactamente una vez de cada tres. Si farolea más, le verán el farol; si farolea menos, sus apuestas serán demasiado honestas. Y quien actúa primero en este juego, con juego perfecto por ambas partes, pierde de media 1/18 de ficha por mano: el segundo jugador actúa después de ver la decisión del primero.

Ahí está la diferencia clave. En un juego de información perfecta, la estrategia óptima es una jugada concreta en cada posición. En un juego con información oculta, suele ser una proporción: con qué frecuencia hacer una cosa u otra para que el rival no pueda «leerte». Los matemáticos lo llaman estrategia mixta, y tendrá su propio artículo en esta serie.

Esto no hace que el ajedrez sea «más sencillo». Encontrar la jugada correcta entre un número enorme de variantes es tan difícil como mantener la proporción justa de faroles. Simplemente son dificultades de distinto tipo.

Qué significa esto en el tablero y fuera de él

Esta clasificación no es solo académica. Ayuda a entender el orden en que las máquinas superaron a las personas. Deep Blue, de IBM, ganó un match a Gari Kaspárov en 1997. AlphaGo, de DeepMind, venció a Lee Sedol al go en 2016 por 4–1. En cambio, los programas no ganaron con claridad a profesionales de élite de Texas hold'em sin límite hasta 2017, sobre todo Libratus, y solo en partidas uno contra uno. En una mesa de seis jugadores lo consiguió su sucesor, Pluribus, en 2019.

No es solo cuestión de potencia de cálculo. Un programa de ajedrez o de go responde a la pregunta «¿cuál es la mejor jugada?». Un programa de póquer tiene que responder a otra: «¿con qué frecuencia hago cada jugada, sabiendo que el rival observa mis hábitos?». Las máquinas tuvieron que aprender a farolear en la proporción justa.

Para un jugador de carne y hueso, de aquí salen tres preguntas que vale la pena hacerse antes de cualquier decisión importante, dentro o fuera del tablero:

• ¿Qué ve mi rival? Si lo ve todo, tu plan tiene que ser bueno aunque lo adivinen. Una trampa de ajedrez que solo funciona si nadie la ve es una apuesta por el error ajeno, no una estrategia.
• ¿Qué no ve? Si algo está oculto, ser previsible se convierte en una debilidad.
• ¿De verdad es un juego de suma cero? En el tablero, sí. En el trabajo, la amistad o una negociación, muchas veces no, y tratar esas situaciones como una partida de ajedrez es el error más caro.

Ejercicio

1. Clasifica con las cinco preguntas estos juegos: el dominó, el Monopoly, el Lobo (o Mafia) y el tres en raya. Uno de ellos es un juego de dos jugadores con información perfecta y sin ningún azar, y está resuelto desde hace mucho: con juego correcto por ambas partes, es empate. ¿Cuál?
2. Cambia la regla de las cerillas: ahora se pueden coger una, dos o tres. ¿Con cuántas cerillas sobre la mesa está condenado a perder el primer jugador?
3. Juega a las cerillas con alguien que no haya leído este artículo. ¿Cuántas partidas necesita para descubrir el patrón?

Las respuestas, al final.

Preguntas para el debate

• Recuerda una partida que perdiste no por jugar mal, sino porque te «leyeron». ¿Qué te delató?
• ¿Estás de acuerdo con von Neumann en que el ajedrez «no es un juego de verdad»? ¿Qué le falta a su definición vista con los ojos de un jugador?
• ¿Qué situación de tu vida se parece más al póquer y cuál al ajedrez?

Próximamente en la serie: «El ajedrez tiene una respuesta, pero nadie la conoce», sobre el teorema de Zermelo, las damas resueltas y el go, que sigue resistiéndose.

Respuestas. 1) El tres en raya. El dominó y el Lobo tienen información oculta; el Monopoly tiene dados y más de dos jugadores. 2) Cuando el número de cerillas es múltiplo de 4: el segundo jugador completa siempre la jugada del rival hasta cuatro.