Das Nash-Gleichgewicht: Warum niemand als Erster ausscheren will

Spieltheorie, Teil 5 von 9

Princeton, 1949. Der 21-jährige Doktorand John Nash bekommt einen Termin bei John von Neumann, einem der berühmtesten Mathematiker der Welt und Urheber des Minimax-Satzes. Nash will ihm eine Idee zeigen, an der er arbeitet.

Laut seiner Biografin Sylvia Nasar unterbrach ihn von Neumann fast sofort: „Das ist trivial. Das ist bloß ein Fixpunktsatz.“

Nash ließ die Idee nicht fallen. Schon im November 1949 wurde seine kurze Notiz bei den Proceedings of the National Academy of Sciences eingereicht. Sie war zwei Seiten lang. 1950 verteidigte Nash eine Doktorarbeit zum selben Thema, und 1994 erhielt er dafür den Wirtschaftsnobelpreis – gemeinsam mit John Harsanyi und dem deutschen Ökonomen Reinhard Selten.

Was steckte also in dieser „trivialen“ Idee?

Eine einzige Frage

Ein Nash-Gleichgewicht lässt sich mit einer einzigen Frage prüfen, die man jedem Spieler der Reihe nach stellt:

„Wenn Sie wissen, was die anderen getan haben – würden Sie Ihre Wahl ändern?“

Will niemand seine Wahl im Alleingang ändern, ist es ein Gleichgewicht. Will es auch nur einer, ist es keines.

Stellen wir diese Frage der Tabelle aus dem vorigen Teil, der mit den zwei Gefangenen.

Beide schweigen. Will jemand wechseln? Ja: Schweigt Ihr Komplize, bringt Ihnen ein Geständnis die Freiheit statt eines Jahres. Kein Gleichgewicht.

Beide gestehen. Will jemand wechseln? Nein: Hat Ihr Komplize gestanden, kostet Sie Schweigen zehn Jahre statt fünf. Ein Gleichgewicht.

Das Wichtigste daran: Ein Gleichgewicht ist nicht dasselbe wie das beste Ergebnis. Je ein Jahr ist besser als je fünf. Doch aus dem „besten“ Ergebnis will jeder fliehen, aus dem schlechten niemand. Ein Gleichgewicht beschreibt nicht, was gut ist, sondern was stabil ist.

Für jede Tabelle mit zwei Spielern gibt es einen schnellen Weg, die Gleichgewichte ohne lange Überlegungen zu finden. Gehen Sie jede Spalte durch und markieren Sie das Feld, in dem Ihr Ergebnis am besten ist: Das ist Ihre beste Antwort auf diesen Zug des Gegners. Gehen Sie dann jede Zeile durch und markieren Sie das Feld, das für den Gegner am besten ist.

Felder mit zwei Markierungen sind die Gleichgewichte. Gibt es keines, existiert ein Gleichgewicht nur mit Zufallszügen – dazu später mehr.

Was Nash bewiesen hat

Im dritten Teil haben wir von Neumanns Satz kennengelernt: Ein Nullsummenspiel zweier Personen hat einen Wert. Die meisten realen Situationen sehen aber anders aus: Oft gibt es mehr als zwei Spieler, und ihre Interessen sind nicht immer entgegengesetzt.

Nash bewies, dass in jedem endlichen Spiel ein Gleichgewicht existiert, mit beliebig vielen Spielern und beliebigen Auszahlungen. Eine Bedingung gibt es: Manchmal müssen die Spieler ihre Züge mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten zufällig wählen, wie bei Schere, Stein, Papier. Solchen gemischten Strategien widmet sich Teil 7.

Für das Schach ändert sich nichts. In Nullsummenspielen ist ein Nash-Gleichgewicht dasselbe wie Minimax: Keine Seite kann das Ergebnis verbessern, indem sie nur ihr eigenes Spiel ändert. Das „perfekte Spiel“ aus dem zweiten Teil der Reihe ist also ebenfalls ein Nash-Gleichgewicht.

Wenn es mehrere gibt

Hier ein Spiel, das Millionen Menschen täglich spielen. Zwei Autofahrer fahren aufeinander zu. Jeder entscheidet, auf welcher Straßenseite er fährt (Auszahlungen zur Veranschaulichung):

Hier gibt es zwei Gleichgewichte: „beide links“ und „beide rechts“. Keines ist besser als das andere. Wichtig ist nur, dass alle dasselbe wählen.

Aber ein Gleichgewicht zu verlassen, in dem sich alle befinden, ist sehr schwer. Ein Fahrer, der als Erster in einem Linksverkehrsland rechts fährt, ändert nichts – außer dass er einen Unfall verursacht.

Genau in dieser Falle saß Schweden. Das Land fuhr links, obwohl die nordischen Nachbarn und der größte Teil Kontinentaleuropas rechts fuhren. Bei einer Volksabstimmung 1955 lehnten 82,9 % der Abstimmenden einen Wechsel ab. Trotzdem beschloss das Parlament die Reform 1963.

Der Wechsel wurde auf Sonntag, den 3. September 1967, gelegt. Um 4.50 Uhr stand der gesamte Verkehr still. Um 5 Uhr rollte er wieder – auf der rechten Seite.

Spieltheoretisch war das der Übergang von einem Gleichgewicht zum anderen. Allein hätte ihn niemand vollzogen. Deshalb musste sich das Verhalten aller ändern, und zwar gleichzeitig.

Wie Menschen ein Gleichgewicht wählen

Wenn es mehrere Gleichgewichte gibt – wie einigen sich die Spieler ohne Absprache auf eines?

In einem Buch von 1960 beschrieb der Ökonom Thomas Schelling eine Frage, die er Studierenden stellte: Sie sollen einen Fremden in New York treffen, haben aber weder Ort noch Uhrzeit vereinbart. Wohin gehen Sie, und wann? Die häufigste Antwort: mittags, an den Informationsschalter der Grand Central Station.

Theoretisch ist jeder Ort und jede Uhrzeit ein Gleichgewicht: Gehen beide dorthin, lohnt es sich für keinen, woanders hinzugehen. Doch Menschen wählen, was heraussticht – was jeder von den anderen erwartet. Schelling nannte das einen Fokalpunkt. Im Straßenspiel ist der Fokalpunkt die Gewohnheit, das Gesetz oder das, was die Nachbarn tun.

Der Fehler in A Beautiful Mind

Im Film A Beautiful Mind – Genie und Wahnsinn (2001) gibt es eine Szene, in der der junge Nash angeblich seine Idee entdeckt. Eine Gruppe von Freunden sitzt in einer Bar. Alle haben dieselbe junge Frau bemerkt und wollen sie ansprechen.

Nash erklärt: Wenn alle zu ihr gehen, stehen sie sich gegenseitig im Weg. Und danach weisen auch ihre Freundinnen sie ab, weil niemand zweite Wahl sein will. Also soll niemand sie ansprechen, und alle gehen zu ihren Freundinnen.

Die Szene ist gut gemacht, zeigt aber kein Nash-Gleichgewicht. Stellen wir unsere Frage. Alle sind zu den Freundinnen gegangen.

Will jemand wechseln? Ja: Jeder Einzelne würde jetzt lieber die Frau ansprechen, die niemand angesprochen hat. Der Plan hält nur dank einer Absprache.

Das Gleichgewicht dieser Geschichte ist ein anderes: Genau einer spricht sie an, die anderen gehen zu ihren Freundinnen. Dann gewinnt niemand etwas, wenn er seine Wahl ändert. Darauf wies der Mathematiker José-Manuel Rey schon 2008 im Magazin Plus hin.

Die Ironie: Die Filmszene zeigt eher eine gemeinsame Absprache. Und genau solche Absprachen – Koalitionen – hat Nash in seinem Aufsatz von 1951 bewusst ausgeklammert. Seine Theorie handelt von Spielern, die jeder für sich entscheiden.

Was man mitnehmen kann

Nashs Frage ist weit über Tabellen hinaus nützlich.

• Stabil heißt nicht gut. Wenn es allen schlecht geht, aber niemand sein Verhalten ändert, sehen Sie wahrscheinlich ein schlechtes Gleichgewicht. Einem Einzelnen zu raten, „sich einfach anders zu verhalten“, reicht nicht: Allein lohnt es sich für ihn nicht.
• Ein Gleichgewicht verlässt man gemeinsam. Wie in Schweden braucht es eine Regeländerung, eine Absprache oder ein gemeinsames Signal, nach dem sich das neue Verhalten für jeden lohnt.
• Bei mehreren Gleichgewichten entscheidet, was alle wahrnehmen. Gewohnheit, Tradition, ein offensichtlicher Orientierungspunkt. Wer den Fokalpunkt setzt, entscheidet oft, wo die Gruppe landet.

Am Schachbrett ist dieselbe Frage die Grundlage jeder Partieanalyse. Prüfen Sie beim Durchgehen: Wenn Sie wissen, wie der Gegner geantwortet hat – würden Sie Ihren Zug ändern? Die Züge, bei denen die Antwort „ja“ lautet, sind die Stellen, an denen Ihr Spiel kein Gleichgewicht war.

Übung

1. Zwei Freunde wollten den Abend zusammen verbringen, können sich aber nicht mehr erreichen. Der eine würde lieber ins Kino gehen, der andere auf ein Konzert. Am meisten wollen aber beide zusammen sein. Auszahlungen: beide im Kino – 2 und 1; beide im Konzert – 1 und 2; an verschiedenen Orten – 0 und 0. Finden Sie alle Gleichgewichte.
2. Zurück zur Filmszene. Ist es ein Gleichgewicht, wenn zwei der Freunde dieselbe Frau ansprechen?

Die Antworten finden Sie am Ende.

Fragen zur Diskussion

• Nennen Sie ein schlechtes Gleichgewicht aus Ihrem Leben oder Beruf, das niemand als Erster verlassen will. Was könnte dafür der „Dagen H“ sein, der schwedische Umstellungstag?
• Hat Ihnen ein Fokalpunkt schon einmal geholfen, jemanden zu finden oder sich ohne Worte zu einigen?
• Von Neumann nannte Nashs Idee trivial. Hat sich ein „offensichtlicher“ Gedanke von Ihnen schon einmal als wertvoll für andere erwiesen?

Als Nächstes in der Reihe: „Wie du mir, so ich dir – aber mit Vergebung“ – über die Turniere von Robert Axelrod, in denen Computerprogramme immer wieder das Gefangenendilemma gegeneinander spielten, und darüber, welche Strategie gewann.

Antworten. 1) Es gibt zwei Gleichgewichte: beide im Kino und beide im Konzert. In beiden Fällen bekommt, wer allein woanders hingeht, 0 statt 1 oder 2. Außerdem gibt es ein drittes, gemischtes Gleichgewicht, bei dem jeder zufällig wählt. Darauf kommen wir in Teil 7 zurück. 2) Nein. Beide werden abgewiesen, weil sie sich gegenseitig im Weg stehen. Jeder von ihnen würde also besser zu den Freundinnen gehen. Das Gleichgewicht ist, dass genau einer sie anspricht.

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