El equilibrio de Nash: por qué nadie quiere moverse primero

Teoría de juegos, parte 5 de 9

Princeton, 1949. John Nash, un estudiante de doctorado de 21 años, consigue una cita con John von Neumann, uno de los matemáticos más famosos del mundo y autor del teorema minimax. Nash quiere enseñarle una idea en la que está trabajando.

Según su biógrafa, Sylvia Nasar, von Neumann lo interrumpió casi enseguida: «Eso es trivial. No es más que un teorema de punto fijo».

Nash no abandonó la idea. En noviembre de 1949 su breve nota se envió a la revista Proceedings of the National Academy of Sciences. Ocupaba dos páginas. En 1950 Nash defendió una tesis doctoral sobre el mismo tema y en 1994 le valió el Premio Nobel de Economía, compartido con John Harsanyi y Reinhard Selten.

¿Qué tenía, entonces, aquella idea «trivial»?

Una sola pregunta

Un equilibrio de Nash se comprueba con una sola pregunta, que se le hace a cada jugador por turno:

«Sabiendo lo que hicieron los demás, ¿cambiarías tu elección?»

Si nadie quiere cambiar su elección por su cuenta, hay equilibrio. Si al menos uno quiere, no lo hay.

Hagámosle esta pregunta a la tabla de la parte anterior, la de los dos prisioneros.

Los dos callan. ¿Alguien quiere cambiar? Sí: si tu cómplice calla, confesar te da la libertad en lugar de un año. No es un equilibrio.

Los dos confiesan. ¿Alguien quiere cambiar? No: si tu cómplice ya confesó, callar te cuesta diez años en lugar de cinco. Es un equilibrio.

Esto es lo esencial: un equilibrio no es lo mismo que el mejor resultado. Un año para cada uno es mejor que cinco. Pero del resultado «mejor» todos quieren escapar, y del malo, nadie. Un equilibrio no describe lo que es bueno, sino lo que es estable.

En cualquier tabla de dos jugadores hay una forma rápida de encontrar los equilibrios sin largos razonamientos. Recorre cada columna y marca la casilla donde tu resultado es mejor: esa es tu mejor respuesta a esa jugada del rival. Luego recorre cada fila y marca la casilla que es mejor para el rival.

Las casillas con dos marcas son los equilibrios. Si no hay ninguna, el equilibrio solo existe con jugadas al azar, pero de eso hablaremos más adelante.

Qué demostró Nash

En la tercera parte vimos el teorema de von Neumann: un juego de suma cero entre dos jugadores tiene un valor. Pero la mayoría de las situaciones reales son distintas: suele haber más de dos jugadores, y sus intereses no siempre son opuestos.

Nash demostró que existe un equilibrio en cualquier juego finito, con cualquier número de jugadores y cualquier tipo de pagos. Hay una condición: a veces los jugadores tienen que elegir sus jugadas al azar con ciertas probabilidades, como en piedra, papel o tijera. A esas estrategias mixtas dedicaremos la séptima parte.

Para el ajedrez no cambia nada. En los juegos de suma cero, un equilibrio de Nash es lo mismo que el minimax: ningún bando puede mejorar el resultado cambiando solo su propio juego. Así que el «juego perfecto» de la segunda parte de la serie también es un equilibrio de Nash.

Cuando hay más de uno

Este es un juego al que juegan millones de personas cada día. Dos conductores van uno hacia el otro. Cada uno elige por qué lado de la calzada circular (pagos ilustrativos):

Aquí hay dos equilibrios: «los dos por la izquierda» y «los dos por la derecha». Ninguno es mejor que el otro. Lo único que importa es que todos elijan lo mismo.

Pero salir del equilibrio en el que ya están todos es muy difícil. Un conductor que decida ser el primero en ir por la derecha en un país que circula por la izquierda no cambia nada, salvo provocar un accidente.

Esa era justamente la trampa de Suecia. El país circulaba por la izquierda, aunque sus vecinos nórdicos y la mayor parte de la Europa continental lo hacían por la derecha. En un referéndum de 1955, el 82,9 % de los votantes rechazó el cambio. Aun así, en 1963 el Parlamento aprobó la reforma.

El cambio se fijó para el domingo 3 de septiembre de 1967. A las 4:50 de la madrugada se detuvo todo el tráfico. A las 5:00 volvió a ponerse en marcha, ya por la derecha.

En términos de teoría de juegos, fue el paso de un equilibrio a otro. Nadie lo habría dado solo. Por eso hubo que cambiar el comportamiento de todos, y a la vez.

Cómo elige la gente un equilibrio

Si hay varios equilibrios, ¿cómo se ponen de acuerdo los jugadores en uno sin hablar?

En un libro de 1960, el economista Thomas Schelling describió una pregunta que hacía a sus estudiantes: tienes que encontrarte con un desconocido en Nueva York, pero no acordaron ni lugar ni hora. ¿Adónde vas y cuándo? La respuesta más frecuente: a mediodía, en el mostrador de información de la estación Grand Central.

En teoría, cualquier lugar y cualquier hora son un equilibrio: si los dos van allí, a ninguno le conviene ir a otro sitio. Pero la gente elige lo que destaca, lo que cada uno espera que esperen los demás. Schelling lo llamó punto focal. En el juego de la carretera, el punto focal es la costumbre, la ley o lo que hacen los vecinos.

El error de A Beautiful Mind

En la película A Beautiful Mind (2001; Una mente maravillosa en España, Una mente brillante en América Latina) hay una escena en la que el joven Nash supuestamente descubre su idea. Un grupo de amigos está en un bar. Todos se han fijado en la misma chica y están a punto de acercarse a ella.

Nash les explica: si todos van a por ella, se estorbarán unos a otros. Y después sus amigas también los rechazarán, porque nadie quiere ser la segunda opción. Así que nadie debería acercarse a ella, y todos deberían ir a hablar con sus amigas.

La escena es buena, pero no muestra un equilibrio de Nash. Hagamos nuestra pregunta. Todos han ido a hablar con las amigas.

¿Alguien quiere cambiar? Sí: cada uno, por separado, preferiría ahora acercarse a la chica con la que no ha hablado nadie. El plan solo se sostiene gracias a un acuerdo.

El equilibrio en esta historia es otro: exactamente uno se acerca a ella y los demás van con sus amigas. Entonces a nadie le conviene cambiar su elección. Ya en 2008 lo señaló el matemático José Manuel Rey en la revista Plus.

Lo irónico es que la escena muestra más bien un acuerdo colectivo. Y precisamente esos acuerdos, las coaliciones, son los que Nash dejó fuera a propósito en su artículo de 1951. Su teoría trata de jugadores que deciden cada uno por su cuenta.

Qué sacar de todo esto

La pregunta de Nash es útil mucho más allá de las tablas.

• Estable no significa bueno. Si todos están mal pero nadie cambia su comportamiento, probablemente estás ante un mal equilibrio. Decirle a una sola persona que «simplemente actúe de otra manera» no basta: por su cuenta, no le compensa.
• De un equilibrio se sale en grupo. Como en Suecia, hace falta un cambio de reglas, un acuerdo o una señal compartida a partir de la cual el nuevo comportamiento compense a todos.
• Si hay varios equilibrios, decide lo que todos perciben. La costumbre, la tradición, una referencia evidente. Quien fija el punto focal suele decidir adónde llega el grupo.

Frente al tablero, la misma pregunta es la base del análisis de una partida. Al repasarla, comprueba: sabiendo cómo respondió el rival, ¿cambiarías tu jugada? Las jugadas en las que la respuesta es «sí» son los lugares donde tu juego no era un equilibrio.

Ejercicio

1. Dos amigos han quedado en pasar la tarde juntos, pero se han quedado sin forma de comunicarse. Uno prefiere ir al cine y el otro, a un concierto. Pero lo que más quieren los dos es estar juntos. Pagos: los dos en el cine, 2 y 1; los dos en el concierto, 1 y 2; en sitios distintos, 0 y 0. Encuentra todos los equilibrios.
2. Volvamos a la escena de la película. ¿Es un equilibrio que dos de los amigos se acerquen a la misma chica?

Las respuestas están al final.

Preguntas para el debate

• Piensa en un mal equilibrio de tu vida o de tu trabajo del que nadie quiere ser el primero en salir. ¿Cuál podría ser su «Dagen H», el día del cambio sueco?
• ¿Alguna vez un punto focal te ayudó a encontrar a alguien o a ponerte de acuerdo sin palabras?
• Von Neumann calificó de trivial la idea de Nash. ¿Alguna vez una idea tuya «obvia» resultó valiosa para otros?

Próximamente en la serie: «Ojo por ojo, pero con perdón», sobre los torneos de Robert Axelrod, en los que programas informáticos jugaron una y otra vez al dilema del prisionero, y sobre qué estrategia ganó.

Respuestas. 1) Hay dos equilibrios: los dos en el cine y los dos en el concierto. En ambos casos, quien se vaya solo a otro sitio obtiene 0 en lugar de 1 o 2. Hay además un tercer equilibrio, mixto, en el que cada uno elige al azar. Volveremos a él en la séptima parte. 2) No. Los dos reciben un rechazo, porque se estorban. Así que a cualquiera de ellos le conviene más ir con las amigas. El equilibrio es que se acerque exactamente uno.

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